函数是中考数学的重点内容，尤其是一次函数和坐标系相关知识，几乎每年必考。掌握这些内容，不仅能解决选择题、填空题，还能在解答题中拿到关键分数。本文聚焦中考高频考点，用最直接的方式讲清楚核心概念和实用技巧。

一、平面直角坐标系：定位与变换

平面直角坐标系由两条互相垂直的数轴组成，横轴叫x轴，纵轴叫y轴，交点为原点O(0,0)。任意一点P的位置由一对有序实数(x, y)确定，x是横坐标，y是纵坐标。

1. 象限与坐标符号

- 第一象限：x > 0，y > 0

- 第二象限：x < 0，y > 0

- 第三象限：x < 0，y < 0

- 第四象限：x > 0，y < 0

坐标轴上的点不属于任何象限。x轴上点的纵坐标为0，y轴上点的横坐标为0。

2. 对称点的坐标规律

- 关于x轴对称：P(x, y) → Q(x, -y)

- 关于y轴对称：P(x, y) → Q(-x, y)

- 关于原点对称：P(x, y) → Q(-x, -y)

这些规律在几何题和函数图像题中经常用到，记住“谁对称，谁变号”即可快速判断。

3. 坐标变换

平移、旋转、对称都会改变点的坐标。例如，点P(x, y)向右平移a个单位，得到点(x + a, y)；向上平移b个单位，得到点(x, y + b)。这类问题在函数图像平移中也会出现。

二、函数的基本概念

函数描述两个变量之间的对应关系。在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么y就是x的函数，x叫自变量，y叫因变量。

自变量的取值范围

确定自变量的取值范围，主要看表达式是否有意义：

- 分式：分母不能为0

- 二次根式：被开方数≥0

- 实际问题：需符合现实意义（如人数不能为负）

例如，函数 \( y = \frac{1}{x - 2} \) 中，x ≠ 2；函数 \( y = \sqrt{x + 3} \) 中，x ≥ -3。

函数图像

函数图像反映变量之间的变化趋势。图像上每一点的横坐标是自变量，纵坐标是因变量。通过图像可以直观看出函数的增减性、最值、交点等信息。

三、一次函数：定义、图像与性质

1. 定义

形如 \( y = kx + b \)（k、b为常数，k ≠ 0）的函数叫一次函数。

当b = 0时，\( y = kx \) 叫正比例函数，是一次函数的特例。

2. 图像特征

一次函数的图像是直线。画图只需两点：

- 与y轴交点：(0, b)

- 与x轴交点：\( \left( -\frac{b}{k}, 0 \right) \)（k ≠ 0）

3. k和b对图像的影响

- k决定倾斜方向和陡峭程度

- k > 0：直线从左下到右上，y随x增大而增大（增函数）

- k < 0：直线从左上到右下，y随x增大而减小（减函数）

- b决定与y轴交点位置

- b > 0：交于y轴正半轴

- b = 0：过原点

- b < 0：交于y轴负半轴

例如，\( y = 2x + 1 \)：k = 2 > 0，b = 1 > 0，图像过第一、二、三象限；

\( y = -x - 2 \)：k = -1 < 0，b = -2 < 0，图像过第二、三、四象限。

4. 待定系数法求解析式

这是中考必考技能，步骤清晰：

1. 设：设函数解析式为 \( y = kx + b \)

2. 列：将已知点坐标代入，列出方程组

3. 解：解方程组求出k和b

4. 回：写出最终解析式

例题：已知一次函数过点(1, 3)和(2, 5)，求解析式。

设 \( y = kx + b \)，代入得：

\[ \begin{cases}k + b = 3 \\2k + b = 5\end{cases} \]

解得k = 2，b = 1，所以解析式为 \( y = 2x + 1 \)。

5. 一次函数的平移

- 向上平移m个单位：\( y = kx + b + m \)

- 向下平移m个单位：\( y = kx + b - m \)

- 向左平移n个单位：\( y = k(x + n) + b \)

- 向右平移n个单位：\( y = k(x - n) + b \)

记住：上加下减，左加右减，但“左加右减”是对x操作。

四、一次函数与其他知识的联系

1. 与方程、不等式的关系

- 方程 \( kx + b = 0 \) 的解，就是函数图像与x轴交点的横坐标。

- 不等式 \( kx + b > 0 \) 的解集，是图像在x轴上方部分对应的x取值范围。

图象法解不等式：画出一次函数图像，观察哪一段在x轴上方（或下方），直接写出x的范围。

2. 与二元一次方程组

两个一次函数图像的交点坐标，就是对应二元一次方程组的解。

例如，解方程组：

\[ \begin{cases}y = 2x + 1 \\y = -x + 4\end{cases} \]

相当于求两条直线的交点。联立解得x = 1，y = 3，交点为(1, 3)。

3. 实际应用题

一次函数常用于描述匀速运动、成本利润、水电费等问题。解题关键：

- 找出自变量和因变量

- 根据题意列出函数关系式

- 利用函数性质或图像解决问题

典型场景：某快递公司收费：首重10元，续重每公斤2元。设重量为x公斤（x ≥ 1），费用为y元，则 \( y = 2(x - 1) + 10 = 2x + 8 \)。

4. 与几何综合

一次函数常与三角形、面积、距离结合。例如：

- 求直线与坐标轴围成的三角形面积

- 判断三点是否共线（看是否在同一函数图像上）

- 利用对称性求最短路径

面积公式：直线 \( y = kx + b \)（k ≠ 0）与坐标轴围成的三角形面积为

\[ S = \frac{1}{2} \left| \frac{b^2}{k} \right| \]

五、备考建议

1. 熟记图像特征：看到k和b，立刻能画出大致图像。

2. 强化待定系数法：这是求函数解析式的核心方法，必须熟练。

3. 多练综合题：一次函数很少单独考，常与方程、不等式、几何结合，要训练综合思维。

4. 重视实际应用：近年中考越来越强调数学建模能力，读懂题意是关键。

函数不难，但细节多。把坐标系规则、一次函数性质、图像变换和实际应用这四块吃透，中考函数题基本稳拿分。每天花10分钟回顾一个知识点，配合2-3道典型题，效果远胜盲目刷题。