勾股定理逆定理的证明过程

【来源：易教网 更新时间：2025-02-03】

勾股定理逆定理是数学中的一个重要定理，它指出如果一个三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形，其中最长边所对的角为直角。这一结论不仅在几何学中有广泛的应用，还在物理学、工程学等领域发挥着重要作用。

本文将详细探讨勾股定理逆定理的证明过程，帮助读者更好地理解其背后的数学原理。

定理陈述

首先，我们明确勾股定理逆定理的具体内容：在一个三角形中，如果两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，且最长边所对的角为直角。

用数学符号表示，即在 $\mathrm{△}ABC$ 中，设 $AB=c$，$AC=b$，$BC=a$，且满足 $a^2+b^2=c^2$，则需要证明 $\mathrm{\angle }ACB={90}^{\circ }$。

证明过程

为了证明这一结论，我们将在 $\mathrm{△}ABC$ 内部构造一个新的点 $H$，使得 $\mathrm{\angle }HCB=\mathrm{\angle }A$，并且 $H$ 在 $AB$ 上。接下来，我们将通过一系列的几何推理来证明 $\mathrm{\angle }ACB={90}^{\circ }$。

1. 构造相似三角形

首先，由于 $\mathrm{\angle }B=\mathrm{\angle }B$ 和 $\mathrm{\angle }A=\mathrm{\angle }HCB$，根据两个角对应相等的三角形相似定理，我们可以得出 $\mathrm{△}ABC\sim \mathrm{△}CBH$。这意味着这两个三角形的对应边成比例，即：

$$\frac{AB}{BC}=\frac{BC}{BH}$$

代入已知的边长，得到：

$$\frac{c}{a}=\frac{a}{BH}$$

解这个比例关系，可以得到：

$$BH=\frac{a^2}{c}$$

2. 计算 $AH$ 的长度

接下来，我们计算 $AH$ 的长度。由于 $AH=AB-BH$，代入已知的边长，得到：

$$AH=c-\frac{a^2}{c}=\frac{c^2-a^2}{c}$$

根据勾股定理 $a^2+b^2=c^2$，可以进一步简化为：

$$AH=\frac{b^2}{c}$$

3. 证明 $\mathrm{△}ACH\sim \mathrm{△}ABC$

现在，我们来证明 $\mathrm{△}ACH\sim \mathrm{△}ABC$。根据相似三角形的定义，如果两个三角形的两组对应边成比例且夹角相等，则这两个三角形相似。我们已经知道 $\mathrm{\angle }A=\mathrm{\angle }A$，接下来计算 $AH$ 和 $AC$ 的比值：

$$\frac{AH}{AC}=\frac{\frac{b^2}{c}}{b}=\frac{b}{c}$$

同时，我们也有：

$$\frac{AC}{AB}=\frac{b}{c}$$

因此，$\frac{AH}{AC}=\frac{AC}{AB}$，结合 $\mathrm{\angle }A=\mathrm{\angle }A$，可以得出 $\mathrm{△}ACH\sim \mathrm{△}ABC$。

4. 利用相似三角形的传递性

由于 $\mathrm{△}ACH\sim \mathrm{△}ABC$ 且 $\mathrm{△}ABC\sim \mathrm{△}CBH$，根据相似三角形的传递性，可以得出 $\mathrm{△}ACH\sim \mathrm{△}CBH$。

这意味着 $\mathrm{\angle }AHC=\mathrm{\angle }CHB$。

5. 证明 $\mathrm{\angle }ACB={90}^{\circ }$

我们利用直线上的角度关系来证明 $\mathrm{\angle }ACB={90}^{\circ }$。由于 $\mathrm{\angle }AHC+\mathrm{\angle }CHB=\mathrm{\angle }AHB={180}^{\circ }$，而 $\mathrm{\angle }AHC=\mathrm{\angle }CHB$，因此：

$$2\times \mathrm{\angle }AHC={180}^{\circ }$$

解得：

$$\mathrm{\angle }AHC={90}^{\circ }$$

由于 $\mathrm{\angle }AHC=\mathrm{\angle }ACB$，因此：

$$\mathrm{\angle }ACB={90}^{\circ }$$

勾股定理的另一种证明方法

除了上述几何证明方法外，勾股定理还可以通过代数方法进行证明。这里介绍一种常见的代数证明方法，即利用正方形的面积关系来证明勾股定理。

假设我们有 8 个全等的直角三角形，每个三角形的两条直角边长分别为 $a$ 和 $b$，斜边长为 $c$。我们再做三个边长分别为 $a$、$b$ 和 $c$ 的正方形，并将它们按照特定的方式拼成两个大的正方形。

1. 构造第一个大正方形

第一个大正方形由四个直角三角形和一个边长为 $a$ 的正方形以及一个边长为 $b$ 的正方形组成。这个大正方形的边长为 $a+b$，其面积可以表示为：

$$(a+b{)}^2=a^2+b^2+4\times \frac{1}{2}ab$$

2. 构造第二个大正方形

第二个大正方形由四个直角三角形和一个边长为 $c$ 的正方形组成。这个大正方形的边长也为 $a+b$，其面积可以表示为：

$$(a+b{)}^2=c^2+4\times \frac{1}{2}ab$$

3. 比较两个大正方形的面积

由于这两个大正方形的边长相同，它们的面积也必须相等。因此，我们可以列出以下等式：

$$a^2+b^2+4\times \frac{1}{2}ab=c^2+4\times \frac{1}{2}ab$$

消去相同的项 $4\times \frac{1}{2}ab$，得到：

$$a^2+b^2=c^2$$

通过上述两种方法，我们分别从几何和代数的角度证明了勾股定理及其逆定理。这些证明不仅展示了数学的严谨性和逻辑性，还体现了数学在解决实际问题中的强大应用。希望本文的详细解释能帮助读者更好地理解和掌握勾股定理及其逆定理的证明过程。